Një profesor në Universitetin Rutgers-New Brunswick, i cili ka kushtuar karrierën e tij për zgjidhjen e mistereve të matematikës së avancuar, ka zgjidhur dy probleme themelore të ndara që kanë munduar matematikanët për dekada.
Zgjidhjet e këtyre problemeve të pazgjidhura për një kohë të gjatë mund të përmirësojnë më tej kuptimin tonë të simetrive të strukturave dhe objekteve në natyrë dhe shkencë, si dhe të sjelljes afatgjatë të proceseve të ndryshme të rastësishme që lindin në fusha që variojnë nga kimia dhe fizika deri te inxhinieria, shkenca kompjuterike dhe ekonomia.
Pham Tiep, Profesor i Shquar i Matematikës Joshua Barlaz në Departamentin e Matematikës në Shkollën e Arteve dhe Shkencës së Universitetit Rutgers, ka përfunduar një dëshmi të Hipotezës Zero të Lartësisë, të propozuar nga Richard Brauer, një matematikan i shquar gjermano-amerikan, i cili vdiq në vitin 1977.
Dëshmia e kësaj hipoteze—e cila zakonisht konsiderohet si një nga sfidat më të shquara në një fushë të matematikës të njohur si teoria e përfaqësimeve të grupeve të fundme—është publikuar në Annals of Mathematics.
“Hipoteza është një ide që besoni se ka njëfarë vlefshmërie,” tha Tiep, i cili ka menduar për problemin e Brauerit për pjesën më të madhe të karrierës së tij dhe ka punuar intensivisht në të për 10 vitet e fundit. “Por hipotezat duhet të provohen. Shpresoja të përparoja fushën. Nuk prisja kurrë që të mund ta zgjidhja këtë.”
Në një farë kuptimi, Tiep dhe kolegët e tij kanë ndjekur një plan sfidash që Brauer u vendosi në një seri hipotezash matematikore të propozuara dhe të publikuara në vitet 1950-60.
“Disa matematikanë kanë këtë intelekt të rrallë,” tha Tiep për Brauerin. “Është si të vinin nga një planet tjetër ose nga një botë tjetër. Ata janë të aftë të shohin fenomene të fshehura që të tjerët nuk munden.”
Në përparimin e dytë, Tiep zgjidhi një problem të vështirë në atë që njihet si teoria Deligne-Lusztig, një pjesë e mekanizmave themelorë të teorisë së përfaqësimeve. Ky përparim prek gjurmët, një veçori e rëndësishme e një vargu drejtkëndor të njohur si matricë. Gjurma e një matrice është shuma e elementeve diagonale të saj. Puna është përshkruar në dy artikuj. Njëri është publikuar në Inventiones mathematicae, tjetri në Annals of Mathematics.
“Puna me cilësi të lartë dhe ekspertiza e Tiep-it në grupet e fundme ka lejuar Universitetin Rutgers të ruajë statusin e tij si një qendër kryesore botërore në këtë fushë,” tha Stephen Miller, Profesor i Shquar dhe Kryetar i Departamentit të Matematikës.
“Një nga arritjet më të mëdha në matematikën e shekullit të 20-të ishte klasifikimi i ashtuquajturve grupe të fundme ‘të thjeshta’, ndoshta një emërtim i gabuar, dhe kjo është sinonim me Rutgersin—u drejtua nga këtu dhe shumë nga shembujt më interesantë u zbuluan këtu. Nëpërmjet një periudhe të jashtëzakonshme pune të fortë, Tiep sjell dukshmëri ndërkombëtare në departamentin tonë.”
Njohuritë nga zgjidhja e problemit ka të ngjarë të përmirësojnë shumë kuptimin e matematikanëve për gjurmët, tha Tiep. Zgjidhja gjithashtu ofron njohuri që mund të çojnë në përparime në probleme të tjera të rëndësishme në matematikë, përfshirë hipotezat e propozuara nga matematikani i Universitetit të Floridës, John Thompson, dhe matematikani izraelit, Alexander Lubotzky, shtoi ai.
Të dy përparimet janë avancime në fushën e teorisë së përfaqësimeve të grupeve të fundme, një nënfushë e algjebrës. Teoria e përfaqësimeve është një mjet i rëndësishëm në shumë fusha të matematikës, përfshirë teorinë e numrave dhe gjeometrinë algjebrike, si dhe në shkencat fizike, përfshirë fizikën e grimcave. Nëpërmjet objekteve matematikore të njohura si grupe, teoria e përfaqësimeve është përdorur gjithashtu për të studiuar simetrinë në molekula, për të enkriptuar mesazhet dhe për të prodhuar kode korrigjuese të gabimeve.
Duke ndjekur parimet e teorisë së përfaqësimeve, matematikanët marrin forma abstrakte që ekzistojnë në gjeometrinë euklidiane—disa prej tyre jashtëzakonisht komplekse—dhe i transformojnë në vargje numrash. Kjo mund të arrihet duke identifikuar pika të caktuara që ekzistojnë në secilën formë tre- ose shumëdimensionale dhe duke i shndërruar ato në numra të vendosur në rreshta dhe kolona.
Operacioni i kundërt duhet të funksionojë gjithashtu, tha Tiep. Duhet të jesh në gjendje të rikrijosh formën nga sekuenca e numrave.
Ndryshe nga shumë prej kolegëve të tij në shkencat fizike, të cilët shpesh përdorin pajisje komplekse për të avancuar punën e tyre, Tiep tha se ai përdor vetëm një stilolaps dhe letër për të kryer kërkimet e tij, të cilat deri tani kanë rezultuar në pesë libra dhe më shumë se 200 artikuj në revistat kryesore matematikore.
Ai shkruan formula matematikore ose fjali që tregojnë zinxhirë logjikë. Ai gjithashtu angazhohet në biseda të vazhdueshme—në person ose në Zoom—me kolegët ndërsa kalojnë hap pas hapi nëpër një dëshmi.
Por përparimi mund të vijë nga reflektimi i brendshëm, tha Tiep, dhe idetë shpërthejnë kur ai është më pak duke e pritur.
“Ndoshta po eci me fëmijët tanë ose po bëj pak kopshtari me gruan time ose thjesht po bëj diçka në kuzhinë,” tha ai. “Gruaja ime thotë se ajo gjithmonë e di kur po mendoj për matematikë.”
Për dëshminë e parë, Tiep bashkëpunoi me Gunter Malle të Universitetit Teknik të Kaiserslautern në Gjermani, Gabriel Navarro të Universitat de València në Spanjë dhe Amanda Schaeffer Fry, një ish-studente e diplomuar e Tiep-it, e cila tani është në Universitetin e Denverit.
Për përparimin e dytë, Tiep punoi me Robert Guralnick të Universitetit të Kalifornisë Jugore dhe Michael Larsen të Universitetit të Indianës. Në artikullin e parë të dy që trajtojnë problemet matematikore mbi gjurmët dhe i zgjidhin ato, Tiep punoi me Guralnick dhe Larsen. Tiep dhe Larsen janë bashkëautorë të artikullit të dytë.
“Tiep dhe bashkëautorët kanë arritur kufizime për gjurmët që janë aq të mira sa mund të presim ndonjëherë të arrijmë,” tha Miller. “Është një temë e pjekur që është e rëndësishme nga shumë këndvështrime, kështu që përparimi është i vështirë—dhe aplikimet janë të shumta.”
